初中数学知识点-二元二次方程组讲解

人人都知道，数学的学习，仅仅靠课堂是不够的，课下的学习和总结也很重要，在课下我们也要多多的学习和练习，这样才能更好的帮助我们学好数学，这篇初中数学知识点-二元二次方程组讲解分享给大家，希望大家能够认真的的学习，领悟。

一、教材浅析

学习“二元二次方程组”，对传授知识、培养学生运算和解决实际问题的能力，都有重要的意义。在教学上，既是复习旧知识，又为后续内容提供工具，起着承上启下的作用。所以，它在中学代数教材中，占有显著的地位，在教学中应该重视。

解方程和方程组时，用到的“降次”、“消元”、“转化”，以及“换元”等重要思想方法。其难点是：由两个二元二次方程所组成的方程组的解法。因此，在教学中，要引导学生注意掌握解题的思路，有计划，有目的地介绍某些有规律的解题技巧，全面归纳和总结解题方法，以达到抓住关键，突破难点的目的。

二、典型例题选

二元二次方程组，从类型上看有两种。而对于不同的二元二次方程组，都有着各自的特殊解法。但是，总的解题规律，不外乎是通过“消元”或“降次”，将第一种类型的二元二次方程组，归结为一元二次方程，或二元一次方程组来求解;将第二种类型的二元二次方程组，归结为第一种类型的二元二次方程组来求解。

〔例题一〕解方程组

{x2-y2+x+3y-1=0(1)2x-y-1=0(2)

分析这是第一种类型的方程组，可用“代入消元法”得到一元二次方程求解。

解由(2)得y=2x-1(3)

把(3)代入(1)得

x2-4(2x-1)2+x+3(2x-1)-1=0

解这个方程，得x1=1x2=8/15

把x1=1代入(3)、得y1=1

把x2=8/15代入(3)、得到y2=1/15

所以原方程组的解是

{x1=1y1=1{x2=8/15y2=1/15

应注意：在求得x的值后，要将x的值代入(3)或代入(2)求y的值。不能代入(1)，否则会多出两个不适合方程组的解：

{x=1y=-(1/4){x=8/15y=41/60这是破坏了方程的同解性所产生的增根。

〔例题二〕解方程组{x+y=7(1)xy=10(2)

分析：可用“代入法”解。也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把xy看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y。

解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程t2-7t+10=0的两个根。解此方程得t1=5、t2=2。t的这两个值，不论哪一个作为xy都可以。因此，所求的解为

{x1=2y1=5{x2=5y2=2

要引导学生观察上面的方程组的特点：若把未知数x与y对调，原方程组形式不变。常称具有这种特点的方程组为对称方程组。并指出：方程组

{x+y=axy=b是对称的二元二次方程组中最简单，最基本的形式，任何一元二次对称方程组，都可化为关于x+yxy的方程组求解。

〔例题三〕解方程组

{3x2-xy-4y2-3x+4y=0(1)x2+y2=25(2)

分析：方程(1)的左边可以分解为两个一次因式的积(3x-4y)(x+y-1)而右边为零。因此，方程(1)可化为两个二元一次方程：3x-4y=0x+y-1=0。它们与方程(2)分别组成方程组{3x-y=0x2+y2=25{x+y-1=0x2+y2=25解这两个方程组，便可得到原方程组的所有的解。

解为

{x1=4y1=3{x2=-4y2=-3{x3=4y3=-3{x4=-3y4=4

〔例题四〕解方程组

{3x2+xy+y2=15(1)3x2-31xy+5y2=-45(2)

分析：这个方程组的两个方程都不含未知数的一次项，消去常数项就可得到形如：ax2+bxy+cy2=0的方程。当判别式b2-4ac大于0时，该方程可通过分解因式来求x、y。

解(1)×3+(2)得3x2-7xy+2y2=0即(x-2y)(3x-y)=0

所以原方程组可化为方程组：

{x=2y3x2+xy+y2=15{y=3x3x2+xy+y2=15

解上面两个方程组，得原方程组的解为：

{x1=2y1=1{x2=-2y2=-1{x3=1y3=3{x4=-1y4=-3

〔例题五〕解方程组{x2+y2=5(1)xy=2(2)

分析：这个方程组可用例4的方法解。

也可用解对称方程组的方法解。还可以把方程(1)加上方程(2)乘2，得到一个新方程。它的左边是一个完全平方式，右边是常数，通过两边开平方，就可以得到一次方程。同样把方程(1)减去方程(2)乘以2，类似地可以得到两个一次方程。这两对一次方程组，就可以得到原方程组的所有的解。

三、能力的培养

“二元二次方程”的教学，除了进一步培养学生的运算能力以外，根据教材的特点和学生的实际情况、需要可以进行如下几种能力的培养：

1、引导观察比较，提高分析判断能力

二元二次方程组，类型不止一种，题型较多，解法又很灵活，教师必须充分鼓励学生的主动精神，启发他们根据定义辨认方程组的特征。在不断实践、比较的基础上，掌握各种解题的典型方法。在解一个二元二次方程组时，要求学生进行如下一系列的观察和思考：

(1)所给的是不是一个二元二次方程组(2)它属何种类型(3)此外还有些什么特征(4)可用什么方法解(5)还可用什么方法解

2、启发求异思维，培养质疑探究能力

在学完例3的解法后，可以让学生大胆尝试：从(1)中得

(3x-4y)(x+y-1)=0

然后得

{3x-4y=03x2-xy-4y2-3x+4y=0

{x+y-1=03x2-xy-4y2-3x+4y=0

再解下去，学生会惊呼：“未知数都消光了，解不下去了”在此基础上引导学生探究产生这种情况的原因，找出防止的方法。事实上，0=0意味着与x，y无关，也就是说x，y的值无法确定。考察新方程组的构造方式易知，方程(1)与自身进行了联立，就其本质来说，是用一个方程来解两个未知数，这是不可能的。要防止这种情况，必须注意两点：第一，新方程如果是从方程组中某个方程独引出的，那么应与方程组中的另一个方程联立，例1，例3属此;第二，新方程是方程组中两个方程联立，例4，例6属此。作了这番探讨，无疑会帮助学生解题时少走弯路;对解方程组的某些理论，例如，方程组里的方程个数，必须与未知数的个数相同，会有更深刻的认识;为日后学生解析几何，作了铺垫;更重要的是，对学生探究问题的精神，方法和能力，作了一次培养。

由例5的解法，所引出的新方程组的另一种搭配(联立)原则，与上面叙述的迥然不同。实际上是：每个二元二次方程，都能得出二元一次方程。在前两个二元一次方程中，每次取出一个，与后两个二元一次方程中，每次取出一个，联立成一组，便得到四个二元一次方程组。这种搭配方式，在后学习中引出的两个二元一次方程，不能联立，则必须在理解“或”与“且”，也就是集合论中的“并”与“交”后，才能有清晰和深刻的认识。

3、揭示解题规律，培养抽象概括能力

在教学的一定阶段上，可以及时让学生自己小结归类。然后在教师指导下通过讨论，系统地总结解题规律。这个过程可以放得长一点，宜于分散在各节课上进行，最后再系统地总结一下。把具体方程写成抽象的一般形式，应让学生熟悉，看懂，学会，应用。各类解法要求能用自己的语言加以叙述。

这篇初中数学知识点-二元二次方程组讲解大家已经学习过了，相信你们都有了很大的认识和了解，那么就好好的学习吧，相信只要大家努力，就一定会取得好的成绩!